Линейные операции с векторами трехмерного пространства. Свойства линейных операций

Вектор - класс отношения эквивалентности $\alpha$: $\overrightarrow{AB} \alpha \overrightarrow{CD} \iff \overrightarrow{AB} \uparrow\uparrow \overrightarrow{CD} \land |\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{CD}|$ Иными словами вектор - множество всех направленных отрезков, имеющих одинаковую длину и одинаковое направление.

Пусть даны $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Зафиксируем точку $O$, отложим от нее вектор $\vec{a}$, обозначим конец полученного направленного отрезка через $A$. От точки $A$ отложим вектор $\vec{b}$, обозначим конец полученного направленного отрезка через $B$. Тогда отрезок $\overrightarrow{OB}$ изображает вектор, который называется суммой векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, $\vec{a} + \vec{b}$.

Если $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ - произвольные вектора, то: 1) $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$ (коммутативность) 2) $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$ (ассоциативность) 3) $\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}$ 4) $\vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{0}$ То есть, множество всех векторов образуют абелеву группу. Доказывается из определения сложения.

Произведением $\vec{a}$ на число $t$ называется вектор $t\vec{a}$ такой, что: 1) $|t\vec{a}| = |t| \cdot |\vec{a}|$ 2) $t \geq 0 \Rightarrow t\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{a}$, $t < 0 \Rightarrow t\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{a}$

1) $t(\vec{a} + \vec{b}) = t\vec{a} + t\vec{b}$ 2) $(t + s)\vec{a} = t\vec{a} + s\vec{a}$ 3) $t(s\vec{a}) = (ts)\vec{a}$ 4) $1 \cdot \vec{a} = \vec{a}$ 5) $(-1) \cdot \vec{a} = - \vec{a}$ Доказывается из определений сложения и умножения на число.

Вектора $\vec{a}, \vec{b} \neq \vec{0}$ коллинеарны $\iff$ $\vec{a} = t\vec{b}$ для некоторого числа $t$.

$\Large\implies$ Так как $\vec{a} \parallel \vec{b}$, то либо $\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$, либо $\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b}$. Так как $|\vec{b}| \neq 0$, положим: $$t := \begin{cases} \dfrac{|\vec{a}|}{|\vec{b}|}, & \vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b} \\ -\dfrac{|\vec{a}|}{|\vec{b}|}, & \vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b} \end{cases}$$ Ясно, что в любом из случаев $t\vec{b} \uparrow\uparrow \vec{a}$. Кроме того: $$|t\vec{b}| = |t| \cdot |\vec{b}| = \dfrac{|\vec{a}|}{|\vec{b}|} \cdot |\vec{b}| = |\vec{a}|$$ А значит $\vec{a} = t\vec{b}$. $\Large\impliedby$ Очевидно из определения произведения вектора на число. $~~~\square$